С помощью рассмотренных дискретных случайных величин невозможно описать реальные случайные эксперименты. Действительно, таким величинам, как размеры любых физических объектов, температура, давление, длительность тех ли иных физических процессов, нельзя приписать дискретное множество возможных значений. Естественно считать, что это множество заполняет какой-то числовой промежуток. Поэтому вводится понятие непрерывной случайной величины.

Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину Х , множество значений которой – некоторый числовой интервал.

Рассмотрим примеры непрерывных случайных величин.

1. Х – промежуток времени между двумя отказами (сбоями) вычислительной машины. Тогда .

2. Х – высота подъема воды в половодье. В этом случае .

Ясно, что для непрерывной случайной величины, значения которой сплошь заполняют некоторый интервал оси абсцисс, ряд распределения построить невозможно. Во-первых, нельзя перечислить одно за другим возможные значения и, во-вторых, как мы покажем далее, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

В противном случае, т.е. если бы каждому отдельному значению непрерывной случайной величины соотнести ненулевую вероятность, то при суммировании всех вероятностей можно получить число, отличное от единицы, так как множество значений непрерывной случайной величины несчетно (значения заполняют сплошь некоторый интервал).

Пусть множество содержит несчетное множество значений непрерывной случайной величины Х . Систему подмножеств образуют любые подмножества, которые могут быть полученыиз множества , , путем применения счетного числа раз операций объединения, пересечения, дополнения. Система , следовательно, будет содержать множества вида {х 1 <Х<х 2 }, , , , , , .

Для определения на этих множествах вероятностноймеры введем понятие плотности распределения вероятностей.

Определение 2.5. Плотностью распределения вероятностей р(х) непрерывной случайной величины Х называется предел, если он существует, отношения вероятности попадания случайной величины Х на интервал , примыкающей к точке х, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю т. е.

(2.4)

Кривая, изображающая плотность распределения вероятностей (плотность вероятности) непрерывной случайной величины, называется кривой распределения. Например, кривая распределения может иметь вид, как на рис. 2.4.

Следует отметить, что если р (х) умножить на , то величина р(х) , называемая элементом вероятности, характеризует вероятность того, что Х принимает значения из интервала длиной , примыкающего к точке х. Геометрически – это площадь прямоугольника со сторонами и р(х) (см. рис. 2.4).

Тогда вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на отрезок будет равна сумме элементов вероятности на всем этом отрезке , т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = р (х) , осью Ох и прямыми х = а, х = β:

, (2.5)

так как площадь заштрихованной фигуры будет стремиться к площади криволинейной трапеции при (рис. 2.5).

Плотность вероятности обладает следующими свойствами.

1 °. р(х) 0 , так как предел неотрицательных величин – величина неотрицательная.

2 °. , так как вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значения из интервала , т.е. вероятность достоверного события равна единице.

3 °. р(х) - непрерывна или кусочно непрерывна.

Таким образом, с помощью формулы (2.5) вводится нормированная вероятностная мера на любых подмножествах множества .

Функция распределения случайной величины Х – это функция F(х) действительной переменной х , определяющая вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие некоторого фиксированного числа х, т.е. : .

Тогда из формулы (2.5) следует, что для любых

. (2.6)

Геометрически функция распределения есть площадь фигуры, лежащей левее точки х, ограниченной кривой распределения у = р(х) и осью абсцисс. Из формулы (2.6) и теоремы Барроу для случая, когда р (х) непрерывна, следует, что

р(х) = (2.7)

Рис.2.6 Рис.2.7

Это равенство нарушается в точках разрыва плотности вероятностей. График F(х) непрерывной случайной величины Х может иметь вид кривой, приведенной на рис. 2.6.

Дадим строгое определенне непрерывной случайной величины.

Определение 2.6. Случайная величина Х называегся непрерывной, если существует неотрицательная функция р(х), что для любых выполняется равенство (2.6).

Функция распределения F(х), удовлетворяющая равенству (2.6), называется абсолютно непрерывной.

Итак, функция распределения непрерывной случайной величины задает абсолютно непрерывное распределение случайной величины.

Для непрерывной случайной величины Х справедлива следующая теорема.

Теорема 2.4. Вероятнсть отдельного значения непрерывной случайной величины Х равна нулю:

Доказательство. По теореме 2.3 вероятность отдельного значения равна:

Так как для непрерывной случайной величины , то .

Из доказанной теоремы следует справедливость равенств:

Действительно, , так как и т.д.

Таким образом, для вычисления вероятностей произвольных событий , где надо задать на множестве значений непрерывной случайной величины либо функцию распределения F(х) , либо плотность распределения вероятностей р(х) .

Пример 2.4. Случайная величина Х имеет плотность распределения вероятностей

Найти параметр с и функцию распределения F(х) . Построитьграфики функций р(х) и F(х).

Решение. Для нахождения параметра с , воспользуемся свойством 2 ○ плотности распределения вероятностей: . Подставив значение плотности, получим . Вычислив интеграл , найдем значение с из равенства: , .

Плотность распределения вероятностей примет вид

Поскольку плотность задана при помощи трех формул, то вычисление функции распределения зависит от расположения на числовой оси. Если:

1) , то воспользовавшись формулой (2.6), получим

Непрерывную с. в. можно задать, используя функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности, или дифференциальной функцией распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной с. в. Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Для описания распределения вероятностей дискретной с. в. плотность распределения не применима.

Вероятностный смысл плотности распределения.

Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная с. в. примет значение, принадлежащее интервалу (x, x +∆x), к длине этого интервала (при ∆x → 0) равен значению плотности распределения в точке х.

Функция плотности характеризует каждое значение непрерывной случайной величины в отдельности, а не целый диапазон как это имеет место для функции распределения.

Вероятность попадания непрерывной с. в. в заданный интервал.

По формуле Ньютона – Лейбница:

P{a < X  b}= F(b) – F(a),

таким образом

Нахождение функции распределения по известной функции плотности.

Полагая в предыдущей формуле а = -∞, b = х, и заменив переменную интегрирования х на t имеем:

F(х) = P{X  х}=P{-∞< X  х},

следовательно

Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция: f(x)0 (т.к. интегральная функция распределения – неубывающая функция, а плотность распределения ее первая производная).

Свойство 2:

Доказательство. Несобственный интеграл
выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащая интервалу (-∞, ∞). Очевидно, такое событие достоверно, следовательно, вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0х и кривой распределения, равна единице.

Вчастности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b), то
.

Возможный график плотности распределения (пример)

f 1 (x) – плотность распределения размера выигрыша в 1-й игре

f 2 (x) – плотность распределения размера выигрыша во 2-ой игре

Какая игра предпочтительней?

Числовые характеристики случайных величин. .

Данные характеристики позволяют решать многие задачи, не зная закона распределения случайных величин.

Характеристики положения случайной величины на числовой оси.

Математическое ожидание это есть среднее взвешенное значений случайной величины Х, в которое абсцисса каждой точки х i входит с «весом», равным соответствующей вероятности.

Математическое ожидание иногда называют просто средним значением с.в.

Обозначение: m x или M [X].

Для дискретной случайной величины

M [X] =

Для непрерывной случайной величины

Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (то для которого вероятность p i , или плотность распределения f(x) достигает максимума).

Обозначение: 

Различают унимодальные распределения (имеют одну моду), полимодальные распределения (имеют несколько мод) и анимодальные (не имеют моды)

унимодальное

Медиана – это такое значение случайной величины х m , для которого выполняется следующее равенство:

P{X < х m }= P{X > х m }

Медиана делит площадь,ограниченную f(x), пополам

Если плотность распределения случайной величины симметрична и унимодальна, то М[X],  и х m совпадают

М[X], , х m – неслучайные величины

Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств, и случайная величина называется непрерывной , если она может принимать любое значение из какого-либо ограниченного или неограниченного интервала. Для непрерывной случайной величины невозможно указать все возможные значения, поэтому обозначают интервалы этих значений, которые связаны с определёнными вероятностями.

Примерами непрерывных случайных величин могут служить: диаметр детали, обтачиваемой до заданного размера, рост человека, дальность полёта снаряда и др.

Так как для непрерывных случайных величин функция F (x ), в отличие от дискретных случайных величин , нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Это значит, что для непрерывной случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей между её значениями: каждое из них имеет нулевую вероятность. Однако в некотором смысле среди значений непрерывной случайной величины есть "более и менее вероятные". Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины - роста наугад встреченного человека - 170 см - более вероятно, чем 220 см, хотя и одно, и другое значение могут встретиться на практике.

Функция распределения непрерывной случайной величины и плотность вероятности

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин, вводится понятие плотности распределения или плотности вероятности. Подойдём к нему путём сравнения смысла функции распределения для непрерывной случайной величины и для дискретной случайной величины.

Итак, функцией распределения случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) или интегральной функцией называется функция , которая определяет вероятность, что значение случайной величины X меньше или равно граничному значению х .

Для дискретной случайной величины в точках её значений x 1 , x 2 , ..., x i ,... сосредоточены массы вероятностей p 1 , p 2 , ..., p i ,... , причём сумма всех масс равна 1. Перенесём эту интерпретацию на случай непрерывной случайной величины. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно "размазана" по оси абсцисс Оx с какой-то неравномерной плотностью. Вероятность попадания случайной величины на любой участок Δx будет интерпретироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке - как отношение массы к длине. Только что мы ввели важное понятие теории вероятностей: плотность распределения.

Плотностью вероятности f (x ) непрерывной случайной величины называется производная её функции распределения:

.

Зная функцию плотности, можно найти вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит закрытому интервалу [a ; b ]:

вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала [a ; b ], равна определённому интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b :

.

При этом общая формула функции F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция плотности f (x ) :

.

График плотности вероятности непрерывной случайной величины называется её кривой распределения (рис. ниже).

Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a и b перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох , графически отображает вероятность того, что значение непрерывной случайной величины Х находится в пределах от a до b .

Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины

1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала (и площадь фигуры, которую ограничивают график функции f (x ) и ось Ох ) равна единице:

2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения:

а за пределами существования распределения её значение равно нулю

Плотность распределения f (x ), как и функция распределения F (x ), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин.

Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины.

Если функция плотности распределения f (x ) непрерывной случайной величины в некотором конечном интервале [a ; b ] принимает постоянное значение C , а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется равномерным .

Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра, средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних (график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным .

Пример 1. Известна функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины:

Найти функцию f (x ) плотности вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8: .

Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения вероятностей:

График функции F (x ) - парабола:

График функции f (x ) - прямая:

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8:

Пример 2. Функция плотности вероятности непрерывной случайной величины дана в виде:

Вычислить коэффициент C . Найти функцию F (x ) распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5: .

Решение. Коэффициент C найдём, пользуясь свойством 1 функции плотности вероятности:

Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Интегрируя, найдём функцию F (x ) распределения вероятностей. Если x < 0 , то F (x ) = 0 . Если 0 < x < 10 , то

.

x > 10 , то F (x ) = 1 .

Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей:

График функции f (x ) :

График функции F (x ) :

Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5:

Пример 3. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X задана равенством , при этом . Найти коэффициент А , вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения непрерывной случайной величины X .

Решение. По условию приходим к равенству

Следовательно, , откуда . Итак,

.

Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[:

Теперь получим функцию распределения данной случайной величины:

Пример 4. Найти плотность вероятности непрерывной случайной величины X , которая принимает только неотрицательные значения, а её функция распределения .

Плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины

Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями, . Тогда ее функция распределения вероятностей

где - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства. Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка, входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при. Поэтому в точке не существует производная функции.

Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:

Тогда формально производная

и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции:

Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, и пусть, . Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:

поскольку особая точка - функции, определяемая условием, находится внутри области интегрирования при, а при особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом,

Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:

Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе, и говорят, что не существует. С другой стороны, в (34.2) -функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого, т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.

Примеры плотностей и функций распределения вероятностей

35.1. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке, если ее плотность распределения вероятностей

где - число, определяемое из условия нормировки:

Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид: .

Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:

На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины.

Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения

равномерно распределенной случайной величины.

35.2. Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:

где, - числа, называемые параметрами функции. При функция принимает свое максимальное значение: . Параметр имеет смысл эффективной ширины. Кроме этой геометрической интерпретации параметры, имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.

Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей

где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись.

Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения

нормальной случайной величины.

35.3. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если

Этой плотности соответствует функция распределения

35.4. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует. Если, то

35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида

Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная

35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения, с вероятностью, которая определяется формулой Бернулли:

где, - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид

где - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:

где - дельта-функция.

Определение . Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.

Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть:

F(х) = P(X < x)

Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».

Свойства функции распределения:

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку:

0 ≤ F(х) ≤ 1.

2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть:

если x > x ,

то F(x ) ≥ F(x ).

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале }