Под стержнем будем понимать цилиндр П=0х[О, /], когда I» diamD. Здесь D - область на координатной плоскости Ох 2 х 3 (рис. 62). Материал стержня однороден и изотропен, а ось Ох, проходит через центр тяжести сечения D. Поле внешних массовых сил f(r, I) =/(Х|, /)е, где е, - орт оси Ох,. Пусть внешние поверхностные силы на боковой поверхности цилиндра равны нулю, т.е. Ра = 0 на dD х

Тогда из (4.8) следует при 1=0 равенства

Собственные формы Х к (j) удобно нормировать, используя для этого норму пространства /^(), которому принадлежит функция v(s, I), так как в каждый момент времени существует и ограничен функционал кинетической энергии

где S - площадь области D. Имеем

X*(s) = Jj- sin^-л в пространстве скоростей Я 0 = ji)(s, /): v(s, t)e

В результате получим ортонормированный базис |л г *(^)| ,

где Ь к „ - символ Кронекера: Функции X k *(s), к= 1,2,суть нормальные формы собственных колебаний, а ю*, к= 1, 2, ..., - собственные частоты колебаний системы с бесконечным числом степеней свободы.

В заключение заметим, что функция u(s, /) принадлежит конфигурационному пространству системы Я, = {v(s, t): v(s, t ) е е ^(), и(0,1) = о(1 , /) = 0}, где И^"ОО, / ]) - пространство Соболева функций, суммируемых вместе с квадратами первых производных на отрезке . Пространство Я, есть область определения функционала потенциальной энергии упругих деформаций

и содержит обобщенные решения рассматриваемой задачи.

Предлагается частотный метод решения задачи о продольных колебаниях стержней ступенчато-переменного сечения с учетом или без учета рассеяния энергии при соударении с жестким препятствием. Уравнение продольных колебаний стержня преобразуется по Лапласу при наличии ненулевых начальных условий. Решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых продольных сил как функций краевых перемещений. Затем составляется система уравнений равновесия узлов, решая которую, строятся амплитудо-фазо-частотные характеристики (АФЧХ) для интересующих сечений стержня. Осуществляя обратное преобразование Лапласа, строится переходный процесс. В качестве тестового примера рассматривается стержень постоянного сечения конечной длины. Дается сопоставление с известным волновым решением. Предлагаемая методика динамического расчета стрежня при соударении с жестким препятствием допускает обобщения на произвольную стержневую систему при наличии неограниченного количества упруго-присоединенных масс, при произвольном силовом воздействии, приложенном на концах и по длине стержня.

Частотный метод

продольные колебания стержня

1. Бидерман, В.Л. Прикладная теория механических колебаний / В.Л. Бидерман. – М.: Высшая школа, 1972. – 416 с.

2. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплекс¬ного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

3. Санкин, Ю.Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами / Ю.Н. Санкин. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977. – 312 с.

4. Санкин, Ю.Н. Нестационарные колебания стержневых систем при соударении с препятствием / Ю.Н. Санкин, Н.А. Юганова; под общ. ред. Ю.Н. Санкина. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – 174 с.

5. Sankin, Y.N. Longitudinal vibrations of elastic rods of step-variable cross-section colliding with rigid obstacle \ Yu. N. Sankin and N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, no 3, pp. 427–433, 2001.

Рассмотрим частотный метод решения задачи о продольных колебаниях стержней ступенчато-переменного сечения с учетом или без учета рассеяния энергии при соударении с жестким препятствием, который будем сравнивать с известным волновым решением и решением в виде ряда по формам колебаний (14) .

Дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня с учетом сил внутреннего сопротивления имеет вид :

Зададим следующие граничные и начальные условия:

. (2)

Преобразуем уравнение (1) и граничные условия (2) по Лапласу при заданных начальных условиях (2). Тогда уравнение (2) и граничные условия (2) запишутся следующим образом:

; (3)

,

где - преобразованные по Лапласу перемещения точек стержня; р - параметр преобразования Лапласа.

Уравнение (3) без учета рассеяния энергии (при = 0) примет вид:

. (4)

Для полученного неоднородного дифференциального уравнения решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых продольных сил, как функций краевых перемещений.

Для этого рассмотрим однородное уравнение продольных колебаний стержня с учетом рассеяния энергии

(5)

Обозначая

и переходя к новой переменной , получим вместо (5)

(6)

Если, где - частотный параметр, то

.

Решение однородного уравнения (6) имеет вид:

Постоянные интегрирования с1 и с2 находим из начальных условий:

u = u0 ; N = N0,

Т.е. ;

Данному решению соответствует следующая матрица переноса:

. (7)

Подставив в формулы метода перемещений полученные выражения для элементов матрицы переноса, получим :

; (8)

;

Индексы n и k указывают соответственно начало и конец участка стержня. А геометрические и физические константы с индексами nk и kn относятся к конкретному участку стержня.

Разбивая стержень на элементы, пользуясь формулами (8), составим уравнения динамического равновесия узлов. Эти уравнения представляют собой систему уравнений для неизвестных узловых перемещений. Поскольку соответствующие коэффициенты получаются точным интегрированием, длина участков стержня не ограничена.

Решая полученную систему уравнений при , строим амплитудо-фазо-частотные характеристики для интересующих нас сечений стержня. Эти АФЧХ можно рассматривать как графический образ одностороннего преобразования Фурье, который совпадает с преобразованием Лапласа при импульсных воздействиях. Поскольку все особые точки соответствующих выражений лежат левее мнимой оси, обратное преобразование можно осуществлять, полагая , т.е. используя построенные АФЧХ. Задача по построению АФЧХ, где в качестве силового воздействия фигурирует поле начальных скоростей, умноженное на плотность стержня, является вспомогательной. Обычно АФЧХ строятся от воздействия возмущающих сил, затем численным интегрированием или каким-либо иным способом осуществляется обратное преобразование Лапласа.

В качестве простого примера рассмотрим прямолинейный стержень длины l, который продольно соударяется с жестким препятствием со скоростью V0 (рис. 1).

Определим смещение точек стержня после удара. Будем считать, что после удара контакт между препятствием и стержнем сохраняется, т.е. отскок стержня не происходит. Если связь является неудерживающей, то задача может рассматриваться как кусочно-линейная. Критерием перехода к другому варианту решения является смена знака скорости в точке контакта.

В монографии Лаврентьева М.А., Шабата Б.В. дано волновое решение уравнения (4):

и найден его оригинал

, (9)

где - единичная ступенчатая функция.

Другой подход к решению этой задачи может быть осуществлен частотным методом, описанным в . Применительно к данной задаче будем иметь:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Найдем оригинал (11)

Решим эту же задачу частотным способом. Из уравнения равновесия 1-го узла:

(12)

получим формулу для перемещения конца стержня .

Теперь, если тестовый стержень постоянного сечения разбить на два произвольных участка длины l1и l2 (см. рис. 1), то условия равновесия узлов будут таковы:

(13)

В результате решения системы (13) получаем графики АФЧХ для перемещений в 1 - ом и 2 - ом сечениях (U1и U2 соответственно). Так, изображение для краевого перемещения в замкнутом виде, с учетом рассеяния энергии, в случае (12) и (13) совпадает и имеет вид:

. (14)

Проверим совпадение результатов на конце стержня. На рис. 2 представлены графики решения (10) при x = l0,1 и в результате решения системы (13). Они полностью совпадают.

Для получения переходного процесса может быть использовано дискретное преобразование Фурье. Результат можно получить, осуществив численное интегрирование при t=0… по формуле

. (15)

На АФЧХ (см. рис. 2) существенно себя проявляет только один видимый виток. Поэтому следует взять один член ряда (15). Из графиков на рисунке 3 видно, насколько точное решение (9) и решение по формам колебаний (11) совпадает с предлагаемым частотным решением. Погрешность не превышает 18 %. Полученное расхождение объясняется тем, что решения (9) и (11) не учитывают рассеяние энергии в материале стержня.

Рис. 3. Переходный процесс для конца стержня; 1, 2, 3 - графики, построенные соответственно по формулам (9), (11), (15).

В качестве более сложного примера рассмотрим задачу о продольных колебаниях ступенчатого стержня (рис. 4) с грузом на конце, соударяющегося с жестким препятствием со скоростью V0 , причем пусть масса груза равна массе прилегающего участка стержня:.

Рис. 4. Расчетная схема продольных колебаний ступенчатого стержня с грузом на конце

Введем характерные сечения 1,2,3 стержня, в которых будем вычислять перемещения. Составим систему разрешающих уравнений:

(16)

В результате решения системы (16) получим графики АФЧХ (рис. 5) для перемещений во втором и третьем сечениях (U2 () и U3() соответственно). Вычисления производились при следующих значениях постоянных: l = 2 м; E = 2.1×1011 Па; F = 0.06 м2; = 7850 кг/м3; V = 10 м/с. На полученных АФЧХ существенно себя проявляют лишь два видимых витка. Поэтому при построении переходного процесса в выбранных сечениях возьмем два члена ряда (16). Для этого предварительно необходимо определить

Рис. 5. АФЧХ перемещений во втором и третьем сечении ступенчатого стержня (см. рис. 4)

Аналогично по формуле (15) строится переходный процесс.

Вывод: разработан метод расчета продольных колебаний стержней при соударении с препятствием.

Рецензенты:

Лебедев А.М., д.т.н., доцент, профессор Ульяновского высшего авиационного училища (института), г. Ульяновск.

Антонец И.В., д.т.н., профессор Ульяновского государственного технического университета, г. Ульяновск.

Библиографическая ссылка

> Продольные волны

Изучите распространение, направление и скорость продольной волны : какие волны продольные, как распространяются, примеры и колебания, как возникают, график.

Иногда продольные волны именуют волнами сжатия. Колеблются в направлении распространения.

Задача обучения

• Определить свойства и примеры продольного типа волны.

Основные пункты

• Колебания продольных волн осуществляются в сторону распространения, но они слишком малы и обладают позициями равновесия, поэтому не вытесняют массу.
• Можно рассматривать этот тип в качестве импульсов, транспортирующих энергию вдоль оси распространения.
• Они также могут восприниматься как волны давления с характерными компрессией и разрежением.

Термины

• Разрежение – уменьшение плотности материала (прежде всего для жидкости).
• Продольный – в направлении длины оси.
• Компрессия – увеличение плотности.

Пример

Какие волны продольные? Лучше всего в качестве примера подходит звуковая волна. Она вмещает импульсы, выступающие результатом сжатия воздуха.

Продольные волны

По направлению вибрации продольные волны совпадают с направлением движения. То есть, перемещение среды расположено в той же стороне, что и волновое движение. Некоторые продольные волны именуют также компрессионными. Если хотите провести эксперимент, то просто приобретите игрушку Слинки (пружинка) и подержите ее за оба конца. В момент сжатия и ослабления импульс переместится к концу.

Сжатая Слинки – пример продольной волны. Она распространяется в том же направлении, что и колебания

Продольные (как и поперечные) не вытесняют массу. Отличие в том, что каждая частичка в среде, сквозь которую распространяется продольная волна, будут осуществлять колебания вдоль оси распространения. Если вспомнить о Слинки, то катушки колеблются в точках, но не будут смещаться по длине пружинки. Не забывайте, что здесь транспортируется не масса, а энергия в виде импульса.

В некоторых случаях такие волны выступают как волны давления. Ярким примером выступает звуковая. Они формируются при сжатии среды (чаще всего, воздух). Продольные звуковые волны – чередование отклонения давления от сбалансированного давления, что приводит к локальным участкам сжатия и разрежения.

Материя в среде периодически смещается звуковой волной и осциллирует. Чтобы произвести звук, нужно сжать частички воздуха до определенного количества. Именно так формируются поперечные волны. Уши чувствительно реагируют на различное давление и переводят волны в тона.

МЕХАНИКА

УДК 531.01/534.112

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПАКЕТА СТЕРЖНЕЙ

А.М. Павлов, А.Н. Темнов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация e-mail: [email protected]; [email protected]

В вопросах динамики жидкостных ракет важную роль играет проблема устойчивости движения ракеты при возникновении продольных упругих колебаний. Появление таких колебаний может привести к установлению автоколебаний, которые в случае неустойчивости ракеты в продольном направлении могут привести к ее быстрому разрушению. Сформулирована задача о продольных колебаниях ракеты пакетной схемы, в качестве расчетной модели использован пакет стержней. Принято, что жидкость в баках ракеты "заморожена", т.е. собственные движения жидкости не учтены. Сформулирован закон баланса полной энергии для рассматриваемой задачи и приведена ее операторная постановка. Приведен численный пример, для которого определены частоты, построены и проанализированы формы собственных колебаний.

Ключевые слова: продольные колебания, частота и форма колебаний, пакет стержней, закон баланса полной энергии, самосопряженный оператор, спектр колебаний, POGO.

SYSTEM OF RODS LONGITUDINAL VIBRATIONS А.М. Pavlov, АЛ. Temnov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation e-mail: [email protected]; [email protected]

In questions of dynamics of liquid fuel rockets the problem of motion stability for this rocket has an important role with the appearance of longitudinal elastic vibrations. An occurrence of such kind vibrations can evoke self-vibrations which may cause rapid destruction of the rocket in case of rocket instability within longitudinal direction. The problem on longitudinal vibrations of the liquid fuel rocket based on the packet scheme has been formulated using package rods as computational model. It is assumed that the liquid in the rocket tanks is "frozen", i.e. proper motions of the liquid are not included. For this problem energy conservation principle was formulated and its operator staging is given. There is a numerical example, for which the frequencies have been determined, forms of Eigen vibration were built and analyzed.

Keywords: longitudinal vibrations, eigen modes and frequencies, rods model, energy conservation principle, selfadjoint operator, vibration spectrum, POGO.

Введение. В настоящее время в России и за рубежом для вывода на требуемую орбиту полезного груза часто используют ракеты-носители (РН) пакетной компоновки с одинаковыми боковыми блоками, равномерно распределенными вокруг центрального блока.

Исследования колебаний пакетных конструкций наталкиваются на определенные трудности, связанные с динамическим воздействием боковых и центрального блоков . В случае симметрии компоновки РН сложное, пространственное взаимодействие блоков пакетной конструкции можно разделить на конечное число типов колебаний, одним из которых являются продольные колебания центрального и боковых блоков . Математическая модель продольных колебаний подобной конструкции в виде пакета тонкостенных стержней подробно рассмотрена в работе . Рис. 1. Схема централь- В настоящей статье приведены теоретиче-ного стержня ские и вычислительные результаты продоль-

ных колебаний пакета стержней, дополняющие исследование, выполненное А.А. Пожалостиным .

Постановка задачи. Рассмотрим другие продольные колебания пакета стержней, состоящего из центрального стержня длиной l0 и N боковых стержней одинаковой длины j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, скрепленных в точке А (xA = l) (рис. 1) с центральными пружинными элементами жесткостью k.

Введем неподвижную систему отсчета ОХ и предположим, что жесткость стержней EFj (x), распределенная масса mj (x) и возмущение q (x,t) являются ограниченными функциями координаты x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Пусть при продольных колебаниях в сечениях стержней с координатой x возникают смещения Uj (x, t), определяемые по уравнениям

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

граничными условиями отсутствия нормальных сил на концах стержней

3 =0, х = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

условиями равенства нормальных сил, возникающих в стержнях,

EF-3 = F x = l

силам упругости пружинных элементов

FпPJ = к (щ (ха) - щ (¡,)); (4)

ЕУодХ (ха - 0) - EFодХ (ха + 0) = , х = ха;

условием равенства перемещений в точке ха центрального стержня

Щ (ха-о) = Щ (ха+о) и начальными условиями

Щ у (х, 0) - Щ (х) ; , _

щ (х, 0) = Щ (х),

где щ (х, 0) = "д^1 (х, 0).

Закон баланса полной энергии. Умножим уравнение (2) на щ (х,£), проинтегрируем по длине каждого стержня и сложим результаты, используя граничные условия (3) и условие согласования (4). В результате получим

({ 1 ^ [ (диЛ 2

тз (х) "БТ" (х+

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ ч 2 .. N „ i.

1 ^ Г „„ , f дп3\ , 1 ^ Гj

1 N /* i дпЛ 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Уо Ы (x - -)(no - Uj)2 dx

= / ^ (х, £) их у (х,£) (х, (6)

где 8 (х - ¡у) - дельта-функция Дирака. В уравнении (6) первое слагаемое в фигурных скобках представляет собой кинетическую энергию Т (¿) системы, второе - потенциальную энергию Пр (£), обусловленную деформацией стержней, а третье - потенциальную энергию Пк (£) пружинных элементов, которая при наличии упругих деформаций стержней может быть записана в виде

Пк (*) = 2 £ / Су (¡у) 8 (х - ¡1) Е^ (¡у) (ддит (¡1)) 2 (х, Су = Еу.

Уравнение (6) показывает, что изменение полной энергии в единицу времени рассматриваемой механической системы равно мощности

внешнего воздействия. При отсутствии внешнего возмущения q (x,t) получаем закон сохранения полной энергии:

T (t) + Пр (t) + Пк (t) = T (0) + Пр (0) + Пк (0).

Операторная постановка. Закон баланса энергии показывает, что для любого момента времени t функции Uj (x, t) можно рассматривать как элементы гильбертова пространства L2j(; m3 (x)), определенные на длине ¡i скалярным произведением

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

и соответствующей нормой.

Введем гильбертово пространство H, равное ортогональной сумме L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, вектор-функцию U = (uo, Ui,..., uN)т и оператор A, действующий в пространстве H согласно соотношению

AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun).

mj (x) dx \ j dx "

операторы, определенные на

множестве Б (А33) С Н функций, удовлетворяющих условиям (3) и (4).

Исходная задача (1)-(5) вместе с начальными условиями запишется в виде

Аи = f (*), и (0) = и0, 17(0) = и1, (7)

где f (*) = (до (*) ,51 (*),..., Ям (¿))т.

Лемма. 1. Если выполнены первые два условия (1), то оператор А в эволюционной задаче (7) - неограниченный, самосопряженный, положительно определенный в пространстве Н оператор

(Аи,К)н = (и,АК)н, (Аи, и)я > с2 (и, и)я.

2. Оператор А порождает энергетическое пространство НА с нормой, равной удвоенному значению потенциальной энергии колебаний пакета стержней

3 \ ^ I з)2 = 2П > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) г?- (x) dx+ o

O (xa) -

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

Из приведенных результатов следует, что энергетическая норма оператора A выражается формулой (8).

Разрешимость эволюционной задачи. Сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть выполнены условия

U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H),

тогда задача (7) имеет единственное слабое решение U (t) на отрезке , определяемое по формуле

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 отсутствии внешнего возмущения f (£) выполняется закон сохранения энергии

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Собственные колебания пакета стержней. Примем, что на стержневую систему не действует поле внешних сил: f (t) = 0. В этом случае движения стержней будем называть свободными. Свободные движения стержней, зависящие от времени t по закону exp (iwt), назовем собственными колебаниями. Приняв в уравнении (7) U (ж, t) = U (ж) eiWÍ, получим спектральную задачу для оператора A:

AU - AEU = 0, Л = ш2. (9)

Свойства оператора A позволяют сформулировать теорему о спектре и свойствах собственных функций .

Теорема 2. Спектральная задача (9) о собственных колебаниях пакета стержней имеет дискретный положительный спектр

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

и систему собственных функций {Uk (ж)}^=0, полную и ортогональную в пространствах H и HA, при этом выполнены следующие формулы ортогональности:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/Ц^) d*+

K («feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

Исследование спектральной задачи в случае однородного пакета стержней. Представив функцию перемещений м- (ж,£) в виде м- (ж,£) = м- (ж) , после разделения переменных получим спектральные задачи для каждого стержня:

^Ои + Лм = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

которые запишем в матричной форме

4 £ + Ли = 0,

А = -,-,-,...,-

\ т0 т1 т2 т«

и = (и0, и1, и2,..., и«)т.

Решение и анализ полученных результатов. Обозначим функции перемещения для центрального стержня на участке как и01 и на участке как и02 (ж). При этом для функции и02 начало координат перенесем в точку с координатой /. Для каждого стержня представим решение уравнения (10) в виде

Для нахождения неизвестных констант в (11) воспользуемся сформулированными выше граничными условиями. Из однородных граничных условий можно определить некоторые константы, а именно:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

В итоге остается найти N + 3 констант: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Для этого решим N + 3 уравнений относительно N + 3 неизвестных.

Запишем полученную систему в матричной форме: (A) {C} = {0} . Здесь {C} = {C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1}т - вектор неизвестных; (A) - характеристическая матрица,

cos (Л1) EF0 Л sin (Л1) +

Л sin (Л (Zo - 1)) Л cos (Л (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

а = к соэ ^ ^А-Л^ ; в = -к со8((.40-01Л)1/2 ^ ;

7 = (А4"-1 л) 1/2 ап ((А"1л) 1/2 + к сов ((А"1л) 1/2 ;

(~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; А-- : 3 = 0.

Для нахождения нетривиального решения в качестве переменной примем константу С01 € М. Имеем два варианта: С01 = 0; С01 = 0.

Пусть С01 = 0, тогда С03 = С04 = 0. В этом случае нетривиальное решение может быть получено, если 7 = 0 из (12) при выполнении дополнительного условия

£ с-1 = 0, (13)

которое может быть получено из третьего уравнения системы (12). В итоге получаем простое частотное уравнение

ЕР (А"1 Л)1/2 вт ((А"1^1/2 П +

зз у \ V зз

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

совпадающее с частотным уравнением для стержня упруго закрепленного на одном конце, который можно рассматривать как первую парциальную систему.

В этом случае все возможные комбинации движений боковых стержней, удовлетворяющих условию (13), можно условно разделить на группы, соответствующие различным комбинациям фаз (в рассматриваемом случае фаза определяется знаком С.д). Если принять боковые стержни идентичными, то имеем два варианта:

1) Сд = 0, тогда число таких комбинаций п для различных N можно вычислить по формуле п = N 2, где - функция деления без остатка;

2) какая-либо (или какие-либо) из констант С- равны 0, тогда число возможных комбинаций возрастает и может быть определено по формуле

£ [(N - m) div 2].

Пусть Coi = 0, тогда Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-в/т), где в и y - комплексы, входящие в (12). Из системы (12) также имеем: C03 = C01 cos (Л/); C04=C03 tg (Л (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (Л (/0 - /)), т.е. все константы выражены через C01. Частотное уравнение принимает вид

EFo U-o1 Л tg A-1 Л) " (lo - l)) -

K2 cos | í a!-,1 Л

В качестве примера рассмотрим систему с четырьмя боковыми стержнями. Кроме описанного выше способа для этого примера можно записать частотное уравнение для всей системы, вычислив определитель матрицы А и приравняв его нулю. Приведем его вид

Y4 (Л sin (Л (/o - /)) cos (Л/) EFoЛ+

Л cos (Л (/o - /)) (EFoЛ sin (Л/) + 4в)) -

4авт3Л cos (Л(/0 - /)) = 0.

Графики трансцендентных частотных уравнений для рассмотренных выше случаев представлены на рис. 2. В качестве исходных данных были приняты следующие: EF = 2 109 Н; EF0 = 2,2 109 Н; k = 7 107 Н/м; m = 5900 кг/м; mo = 6000 кг/м; / = 23; /о = 33 м. Значения первых трех частот колебаний рассматриваемой схемы приведены ниже:

n.....................................

и, рад/с..............................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Рис. 2. Графики трансцендентных частотных уравнений для Coi = 0 (i) и Coi = 0 (2)

Приведем формы колебаний, соответствующие полученным решениям (в общем случае формы колебаний не нормированы). Формы колебаний, соответствующие первой, второй, третьей, четвертой, 13 и 14 частотам, приведены на рис. 3. При первой частоте колебаний боковые стержни колеблются с одинаковой формой, но попарно в противофазе

Рис.3. Формы колебаний боковых (1) и центральных (2) стержней, соответствующие первой V = 3,20 Гц (а), второй V = 5,02 Гц (б), третьей V = 10,11 Гц (в), четвертой V = 13,60 Гц (г), 13-й V = 45,90 Гц (д) и 14-й V = 50,88 Гц (е) частотам

(рис. 3, а), при второй - центральный стержень совершает колебания, а боковые колеблются по одинаковой форме в фазе (рис. 3, б). Следует отметить, что первая и вторая частоты колебаний рассматриваемой стержневой системы соответствуют колебаниям системы, состоящей из твердых тел.

При колебании системы с третьей собственной частотой первый раз появляются узлы (рис.3,в). Третья и последующие частоты (рис.3,г) соответствуют уже упругим колебаниям системы. С возрастанием частоты колебаний, связанной с уменьшением влияния упругих элементов, частоты и формы колебаний стремятся к парциальным (рис.3,д, е).

Кривые функций, точки пересечения которых с осью абсцисс являются решениями трансцендентных уравнений, представлены на рис. 4. Согласно рисунку, собственные частоты колебаний системы расположены вблизи парциальных частот. Как было отмечено выше, при увеличении частоты сближение собственных частот с парциальными усиливается. В результате частоты, при которых колеблется вся система, условно разделяются на две группы: близкие к парциальным частотам бокового стержня и частоты, близкие к парциальным частотам центрального стержня.

Выводы. Рассмотрена задача о продольных колебаниях пакета стержней. Описаны свойства поставленной краевой задачи и спектра ее собственных значений. Предложено решение спектральной задачи для произвольного числа однородных боковых стержней. Для численного примера найдены значения первых частот колебаний и построены соответствующие им формы. Также были выявлены некоторые характерные свойства построенных форм колебаний.

Рис. 4. Кривые функций, точки пересечения которых с осью абсцисс являются решениями трансцендентных уравнений, для СоХ = 0 (1), Сох = 0 (2) совпадают с первой парциальной системой (боковой стержень, закрепленный на упругом элементе в точке х = I) и второй парциальной системы (5) (центральный стержень, закрепленный на четырех упругих элементах в точке А)

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 520 с.

2. Баллистические ракеты и ракеты-носители / О.М. Алифанов, А.Н. Андреев, В.Н. Гущин и др. М.: Дрофа, 2004. 511 с.

3. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1974. 396 с.

4. Parameter study on POGO stability of liquid rockets / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Vol. 48. Is. 3. P. 537-541.

5. Балакирев Ю.Г. Методы анализа продольных колебаний ракет-носителей с жидкостным двигателем // Космонавтика и ракетостроение. 1995. № 5. С. 50-58.

6. Балакирев Ю.Г. Особенности математической модели жидкостной ракеты пакетной компоновки как объекта управлении // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. 2008. С. 43-55.

7. Докучаев Л.В. Совершенствование методов исследований динамики ракеты-носителя пакетной конструкции с учетом их симметрии // Космонавтика и ракетостроение. 2005. № 2. С. 112-121.

8. Пожалостин А.А. Разработка приближенных аналитических методов расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек с жидкостью: дис. ... д-ра техн. наук. М., 2005. 220 с.

9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967. 464 с.

10. Копачевский И.Д. Операторные методы математической физики. Симферополь: ООО "Форма", 2008. 140 с.

Kolesnikov K.S. Dinamika raket . Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 p.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., eds. Ballisticheskie rakety i rakety-nositeli . Moscow, Drofa Publ., 2003. 511 p.

Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov . Moscow, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 p.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Parameter study on POGO stability of liquid fuel rocket. J. Spacecraft and Rockets, 2011, vol. 48, iss. 3, pp. 537-541.

Balakirev Yu.G. Methods of analysis of longitudinal vibrations of launch vehicles with liquid propellant engine. Kosm. i raketostr. , 1995, no. 5, pp. 50-58 (in Russ.).

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii . Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya" . Moscow, Fizmatlit Publ., 2008. 204 p. (cited pp. 4355).

Dokuchaev L.V. Improvement of methods for studying the dynamics of clustered launch vehicle considering their symmetry. Kosm. i raketostr. , 2005, no. 2, pp. 112-121 (in Russ.).

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk .

Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh . Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki . Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 p.

Статья поступила в редакцию 28.04.2014

Павлов Арсений Михайлович - студент кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Специализируется в области ракетно-космической технологии.

МГТУ им. Н.Э. Баумаш, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Pavlov A.M. - student of "Spacecrafts and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Specialist in the field of rocket-and-space technology. Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

Темнов Александр Николаевич - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Космические аппараты и ракеты-носители" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 20 научных работ в области механики жидкости и газа и ракетно-космической технологии. МГТУ им. Н.Э. Баумаш, Российская Федерация, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Temnov A.N. - Cand. Sci. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Spacecrafts and Launch Vehicles" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 20 publications in the field of fluid and gas mechanics and rocket-and-space technology.

Bauman Moscow State Technical University, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moscow, 105005 Russian Federation.

Стержнем называют тело, один из размеров которого, называемый продольным, значительно превышает его размеры в плоскости, перпендикулярной к продольному направлению, т.е. поперечные размеры. Основным свойством стержня является сопротивление, оказываемое продольному сжатию (растяжению) и изгибу. Это свойство коренным образом отличает стержень от струны, которая не растягивается и не сопротивляется изгибу. Если плотность материала стержня во всех его точках одинакова, то стержень называют однородным.

Обычно в качестве стержней рассматриваются протяженные тела, ограниченные замкнутой цилиндрической поверхностью. В этом случае площадь поперечного сечения остается постоянной. Мы будем изучать поведение именно такого однородного стержня длины l , предполагая, что он подвержен только сжатию или растяжению, подчиняясь при этом закону Гука. При изучении малых продольных деформаций стержня обычно принимается так называемая гипотеза плоских сечений. Она заключается в том, что поперечные сечения, перемещаясь при сжатии или растяжении вдоль стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу.

Направим ось x вдоль продольной оси стержня (Рис. 19) и будем считать, что в начальный момент времени концы стержня находятся в точках x=0 и x=l . Возьмем произвольное сечение стержня с координатой x . Обозначим через u (x , t ) смещение этого сечения в момент времени t , тогда смещение сечения с координатой в тот же момент времени будет равно

Тогда относительное удлинение стержня в сечении x будет равно

Сила сопротивления этому удлинению по закону Гука будет равна

где E – модуль упругости материала стержня (модуль Юнга), а S – площадь поперечного сечения. На границах участка стержня длиной dx на него действуют силы T x и T x + dx , направленные вдоль оси x . Результирующая эти их сил будет равна

,

а ускорение рассматриваемого участка стержня равно , тогда уравнение движения этого участка стержня будет иметь вид:

, (67)

где ρ – плотность материала стержня. Если эта плотность и модуль Юнга, постоянны, то можно ввести величину через и, поделив обе части уравнения на Sdx , окончательно получить уравнение продольных колебаний стержня в отсутствии внешних сил

(68)

Это уравнение по форме совпадает с уравнением поперечных колебаний струны и методы решения для него те же, однако, коэффициентом a в этих уравнениях обозначены разные величины. В уравнении струны величина a 2 представляет дробь,в числителе которой стоит постоянная сила натяжения струны – Т , а в знаменателе линейная плотность ρ , а в уравнении струныв числители стоит модуль Юнга, а в знаменателе – объемная плотность материала стержня ρ . Отсюда и физический смысл величины a в этих уравнениях разный. Если для струны этот коэффициент является скоростью распространения малого поперечного смещения, то для стержня он является скоростью распространения малого продольного растяжения или сжатия и называется скоростью распространением звука , поскольку именно с этой скоростью будут распространяться по стержню малые продольные колебания, представляющие собой звук.

Для уравнения (68) задаются начальные условия, которые определяют смещение и скорость смещения любого сечения стержня в начальный момент времени:

Для ограниченного стержня задаются условия закрепления или приложения силы на его концах в виде граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода.

Граничные условия первого рода задают продольное перемещение на концах стержня:

Если концы стержня закреплены неподвижно, то в условиях (6) . В этом случае, так же как и в задаче о колебании защемленной струны применим метод разделения переменных.

В граничных условиях II рода на концах стержня задаются упругие силы, образующиеся в результате деформации по закону Гука в зависимости от времени. Согласно формуле (66) эти силы с точностью до постоянного множителя равны производной u x , поэтому на концах и задаются эти производные как функции времени:

Если один из концов стержня свободен, то на этом конце u x = 0.

Граничные условия третьего рода могут быть представлены как условия, при которых к каждому концу стержня прикреплена пружина, другой конец которой перемещается вдоль оси по заданному закону времени θ (t ), как это изображено на Рис. 20. Эти условия могут быть записаны следующим образом

, (72)

где k 1 и k 2 – жесткости пружин.

Если на стержень вдоль оси действует ещё и внешняя сила p (x , t ), рассчитанная на единицу объема, то вместо уравнения (50) следует записать неоднородное уравнение

,

Которое, после деления на примет вид

, (73)

где . Уравнение (73) представляет собой уравнение вынужденных продольных колебаний стержня, которое решается по аналогии с уравнением вынужденных колебаний струны.

Замечание. Следует заметить, что и струна и стержень являются моделями реальных тел, которые в действительности могут проявлять как свойства струны, так и стержня, в зависимости от условий, в которых они находятся. Кроме того, в полученных уравнениях не учитываются силы сопротивления окружающей среды и силы внутреннего трения, в результате чего эти уравнения описывают незатухающие колебания. Для учета эффекта затухания в простейшем случае используется диссипативная сила, пропорциональная скорости и направленная в сторону, противоположную движению, т.е. скорости. В результате уравнение (73) принимает вид

(74)