ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, линейное пространство, над полем K, - аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение

К × Е → Е: (λ, х) → λх,

удовлетворяющее следующим аксиомам (х, y ∈ Е, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(х + у) = λх + λу,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = х.

Из аксиом 1)-4) вытекают следующие важные свойства векторного пространства (0 ∈ Е):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ х = 0,

Элементы В. п. наз. точками В. п., или векторами, а элементы поля K - скалярами.

Наибольшее применение в математике и приложениях имеют В. п. над полем ℂ комплексных чисел или над полем ℝ действительных чисел; они наз. соответственно комплексными В. п. или действительными В. п.

Аксиомы В. п. выявляют нек-рые алгебраич. свойства многих классов функций, часто встречающихся в анализе. Из примеров В. п. самыми фундаментальными и наиболее ранними являются n-мерные евклидовы пространства. Почти столь же важными примерами являются многие функциональные пространства: пространство непрерывных функций, пространство измеримых функций, пространство суммируемых функций, пространство аналитич. функций, пространство функций ограниченной вариации.

Понятие В. п. есть частный случай понятия модуля над кольцом, а именно, В. п. есть унитарный модуль над полем. Унитарный модуль над некоммутативным телом также наз. векторным пространством над телом; теория таких В. п. во многом сложнее теории В. п. над полем.

Одной из важных задач, связанных с В. п., является изучение геометрии В. п., т. е. изучение прямых в В. п., плоских и выпуклых множеств в В. п., подпространств В. п. и базисов в В. п.

Векторным подпространством, или просто подпространством, В. п. Е над полем К наз. подмножество F ⊂ E, замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть В. п. над тем же полем.

Прямой линией, проходящей через две точки х и y В. п. Е, наз. множество элементов z ∈ E вида z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Множество G ∈ E наз. плоским множеством, если вместе с любыми двумя точками оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из нек-рого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): G = x + F; это означает, что каждый элемент z ∈ G представим единственным образом в виде z = x + y, y ∈ F, причем это равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между F и G.

Совокупность всех сдвигов F x = x + F данного подпространства F образует В. п. над K, наз. фактор-пространством E/F, если определить операции следующим образом:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ К.

Пусть М = {х α } α∈A - произвольное множество векторов из Е; линейной комбинацией векторов х α ∈ Е наз. вектор х, определенный формулой

х = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

в к-рой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества М является наименьшим подпространством, содержащим М, и наз. линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация наз. тривиальной, если все коэффициенты λ α равны нулю. Множество М наз. линейно независимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из М отличны от нуля.

Любое линейно независимое множество содержится в нек-ром максимальном линейно независимом множестве М 0 , т. е. в таком множестве, к-рое перестает быть линейно независимым после присоединения к нему любого элемента из Е.

Каждый элемент х ∈ Е может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации элементов максимального линейно независимого множества:

х = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

В связи с этим максимальное линейно независимое множество наз. базисом В. п. (алгебраическим базисом). Все базисы данного В. п. имеют одинаковую мощность, к-рая наз. размерностью В. п. Если эта мощность конечна, пространство наз. конечномерным В. п.; в противном случае оно наз. бесконечномерным В. п.

Поле K можно рассматривать как одномерное В. п. над полем K; базис этого В. п. состоит из одного элемента; им может быть любой элемент, отличный от нуля. Конечномерное В. п. с базисом из n элементов наз. n-мерным пространством.

В теории действительных и комплексных В. п. важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество М в действительном В. п. наз. выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками х, у отрезок tx + (1 - t)y, t ∈ , также принадлежит М.

Большое место в теории В. п. занимает теория линейных функционалов на В. п. n связанная с этим теория двойственности. Пусть Е есть В. п. над полем K. Линейным функционалом на Е наз. аддитивное и однородное отображение f: Е → К:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Множество Е* всех линейных функционалов на Е образует В. п. над полем K относительно операций

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), х ∈ Е, Х ∈ К, f 1 , f 2 , f ∈ Е*.

Это В. п. наз. сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрич. терминов. Пусть D ⊂ E (соответственно Г ⊂ Е*); аннулятором множества D, или ортогональным дополнением множества D (соответственно множества Г) наз. множество

D ⊥ = {f ∈ Е*: f(x) = 0 для всех х ∈ D}

(соответственно Г ⊥ = {х ∈ Е: f(x) = 0 для всех f ∈ Г}); здесь D ⊥ и Г ⊥ - подпространства соответственно пространств Е* и Е. Если f - ненулевой элемент из Е*, то {f} есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, наз. иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства наз. гиперплоскостьюв Е; всякая гиперплоскость имеет вид

{x: f(x) = λ), где f ≠ 0, f ∈ Е*, λ ∈ K.

Если F - подпространство В. п. Е, то существуют естественные изоморфизмы между F* и

E*/F ⊥ и между (E/F)* и F ⊥ .

Подмножество Г ⊂ E* наз. тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент: Г ⊥ = {0}.

Каждому линейно независимому множеству {х α } α∈A ⊂ E можно сопоставить сопряженное множество {f α } α∈A ⊂ E*, т.е. такое множество, что f α (x β) = δ αβ {Кронекера символ) для всех α, β ∈ A. Множество пap {х α , f α } наз. при этом биортогональной системой. Если множество {х α } есть базис в Е, то {f α } тотально над Е.

Значительное место в теории В. п. занимает теория линейных преобразований В. п. Пусть Е 1 , Е 2 - два В. п. над одним и тем же полем К. Линейным отображением, или линейным оператором, Т, отображающим В. п. Е 1 в В. п. Е 2 (или линейным оператором из Е 1 в Е 2), наз. аддитивное и однородное отображение пространства Е 1 в Е 2:

Т(х + у) = Тх + Ту; Т(λх) = λТ(х); х, у ∈ Е 1 .

Частным случаем этого понятия является линейный функционал, или линейный оператор из Е 1 в K. Линейным отображением является, напр., естественное отображение В. п. Е на факторпространство E/F, сопоставляющее каждому элементу х ∈ Е плоское множество F x ∈ E/F. Совокупность ℒ(Е 1 , Е 2) всех линейных операторов Т: Е 1 →Е 2 образует В. п. относительно операций

(Т 1 + Т 2)х = Т 1 х + Т 2 х; (λТ)х = λТх; х ∈ Е 1 ; λ ∈ K; T 1 , T 2 , Т ∈ ℒ(Е 1 , Е 2).

Два В. п. Е 1 и Е 2 наз. изоморфными В. п., если существует линейный оператор («изоморфизм»), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами. Е 1 и Е 2 изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы имеют одинаковую мощность.

Пусть Т - линейный оператор, отображающий Е 1 в Е 2 . Сопряженным линейным оператором, или двойственным линейным оператором, по отношению к Т, наз. линейный оператор Т* из E* 2 в Е* 1 , определенный равенством

(Т*φ)х = φ(Тх) для всех х ∈ Е 1 , φ ∈ Е* 2 .

Имеют место соотношения Т* -1 (0) = ⊥ , Т*(Е* 2) = [Т -1 (0)] ⊥ , откуда следует, что Т* является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Т является изоморфизмом.

С теорией линейных отображений В. п. тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений В. п.

Важную группу задан теории В. п. образуют задачи продолжения линейных отображений. Пусть F - подпространство В. п. Е 1 , Е 2 - линейное пространство над тем же полем, что и Е 1 , и пусть Т 0 - линейное отображение F в Е 2 ; требуется найти продолжение Т отображения T 0 , определенное на всем Е 1 и являющееся линейным отображением Е 1 в Е 2 . Такое продолжение всегда существует, но дополнительные ограничения на функции (связанные с дополнительными структурами в В. п., напр., топологией или отношением порядка) могут сделать задачу неразрешимой. Примерами решения задачи продолжения являются Хана-Банаха теорема и теоремы о продолжении положительных функционалов в пространствах с конусом.

Важным разделом теории В. п. является теория операций над В. п., т. е. способов построения новых В. п. по известным. Примеры таких операций - известные операции взятия подпространства и образования факторпространства по подпространству. Другие важные операции - построение прямой суммы, прямого произведения и тензорного произведения В. п.

Пусть {Е α } α∈I - семейство В. п. над полем К. Множество Е - произведение множеств Е α - можно превратить в В. п. над полем К, введя операции

(x α) + (y α) = (x α + y α); λ(x α) = (λx α); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

полученное В. п. Е наз. прямым произведением В. п. Е α и обозначается П α∈I Е α . Подпространство В. п. Е, состоящее из всех тех наборов (х α), для каждого из к-рых множество {α: х α ≠ 0} конечно, наз. прямой суммой В. п. Е α и обозначается Σ α E α или Σ α + E α ; Для конечного числа слагаемых эти определения совпадают; в этом случае используются обозначения:

Пусть Е 1 , Е 2 - два В. п. над полем K; Е" 1 , Е" 2 -тотальные подпространства В. п. E* 1 , Е* 2 , и Е 1 □ Е 2 -В. п., имеющее своим базисом совокупность всех элементов пространства Е 1 × Е 2 . Каждому элементу x □ y ∈ E 1 □ E 2 сопоставляется билинейная функция b = Т(х, у) на Е" 1 × Е 2 по формуле b(f, g) = f(x)g(y), f ∈ E" 1 , g ∈ E" 2 . Это отображение базисных векторов x □ y ∈ E 1 □ E 2 можно продолжить до линейного отображения Т В. п. Е 1 □ Е 2 в В. п. всех билинейных функционалов на Е" 1 × Е" 2 . Пусть E 0 = T -1 (0). Тензорным произведением В. п. Е 1 и Е 2 наз. факторпространство Е 1 ○ Е 2 = (E 1 □ E 2)/E 0 ; образ элемента x □ y обозначается х ○ у. В. п. Е 1 ○ Е 2 изоморфно В. п. билинейных функционалов на Е 1 × Е 2 (см. Тензорное произведение векторных пространств).

Лит.: Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; Райков Д. А., Векторные пространства, М., 1962; Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; , Эдварде Р., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969; Халмош П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 1963; Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный линейный анализ в задачах, М., 1969.

М. И. Кадец.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Пусть V - непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать …и т.д. Пусть на Vзаданы и определеным каким-либо образом две операции. Первая операция - бинарная аддитивная операция (или грубо говоря - операция сложения). Эту операцию обозначим знаком +, (впрочем, необязательно, чтобы на все 100% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: (). Вторая операция - умножение вектора на какой-нибудь элемент? такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор (). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел). (4)

Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства. (3)

1. a) сумма любых двух элементов из V и б) произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V (векторами).

2. сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят - векторное сложение ассоциативно):

3. сложение любых двух элементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): .

4. существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого.

5. для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна, т.е. (.

Для любых скаляров (чисел) ? и? и для любых двух векторов из V

Векторное подпространство

Векторным подпространством, или просто подпространством, векторное пространство Е нал полем К называется множество, замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть векторное пространство над тем же полем. (5)

Прямой линией, проходящей через две точки x и y векторного пространства Е, называется множество элементов вида, ??. Множество G называется плоским множеством, если вместе с любыми двумя оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из некоторого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): G=x+F, это означает, что каждый элемент z представим единственным образом в виде y , причем при этом равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между F и G.

Совокупность всех сдвигов данного подпространства F образует векторное пространство над K, называется факторпространством E/F, если определитель операции следующим образом:

Пусть М = - произвольное множество векторов Е; линейной комбинацией векторов называется вектор x, определенный формулой

в которой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества М является наименьшим подпространством, содержащим М, и называющийся линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество М называется линейно зависимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из М отличны от нуля.

В теории действительных и комплексных векторных пространств важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество М в действительном векторном пространстве называется выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками x, y отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории векторных пространств занимает теория линейных функционалов на векторное пространство и связанная с этим теория двойственности. Пусть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение усть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Е образует векторное пространство над полем К относительно операций

Это векторное пространство называется сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрических терминов. Пусть D?E (соответственно множество Г) называется множество

(соответственно); здесь и - подпространства соответственно пространств и Е. Если f - ненулевой элемент, то {f } есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, называется иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства называется гиперплоскостью в Е; всякая гиперплоскость имеет вид

{x: f(x)= ??}, где f ? 0, f , К.

Подмножество называется тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент ={0}.

Каждому линейно независимому множеству можно сопоставить сопряженное подмножество, т.е. такое множество, что (Кронекера символ) для всех. Множество пар называется при этом биорторгональной системой. Если множество есть базис в Е, то тотально над Е.

Значительное место в теории векторных пространств занимает теория линейных преобразований векторного пространства. Пусть - два векторных пространства над одним и тем же полем К. Линейным отображением, или линейным оператором, Т, отображающим векторное пространство в векторном пространстве (или линейным оператором из в.

Два векторных пространства и называются изоморфными векторными пространствами, если существует линейный оператор («изоморфизм»), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами и.

С теорией линейных отображений векторного пространства тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений векторного пространства.

Важную группу задач теории векторного пространства образуют задачи продолжения линейных отображений. Пусть F - подпространство векторного пространства - линейное пространство над тем же полем, что и, и пусть - линейное отображение F в; требуется найти продолжение Т отображения, определенное на всем и являющееся линейным отображением в. Такое продолжение всегда существует, но дополнительные ограничения на функции (связанные с дополнительными структурами в векторное пространство, например, топологией или отношением порядка) могут сделать задачу неразрешимой. Примерами решения задачи продолжения являются Хана-Банаха теорема и теоремы о продолжении положительных функционалов в пространствах с конусом.

Важным разделом теории Векторных пространств является теория операция над векторными пространствами, т.е. способов построения новых векторных пространств по известным. Примеры таких операций - известные операции взятия подпространства и образования факторпространства по подпространству. Другие важные операции - построение прямой суммы, прямого произведения и тензорного произведения векторного пространства.

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО (линейное пространство), одно из фундаментальных понятий алгебры, обобщающее понятие совокупности (свободных) векторов. В векторном пространстве вместо векторов рассматриваются любые объекты, которые можно складывать и умножать на числа; при этом требуется, чтобы основные алгебраические свойства этих операций были такими же, как и для векторов в элементарной геометрии. В точном определении числа заменяются элементами любого поля К. Векторным пространством над полем К называется множество V с операцией сложения элементов из V и операцией умножения элементов из V на элементы из поля К, которые обладают следующими свойствами:

х + у = у + х для любых х, у из V, т. е. относительно сложения V является абелевой группой;

λ(х + у) = λ χ + λу для любых λ из К и х, у из V;

(λ + μ)х = λх + μх для любых λ, μ из К и х из V;

(λ μ)х = λ(μх) для любых λ, μ из К и х из V;

1х = х для любого х из V, здесь 1 означает единицу поля К.

Примерами векторного пространства являются: множества L 1 , L 2 и L 3 всех векторов из элементарной геометрии, соответственно на прямой, плоскости и в пространстве с обычными операциями сложения векторов и умножения на число; координатное векторному пространству K n , элементами которого являются всевозможные строки (векторы) длины n с элементами из поля К, а операции заданы формулами

множество F(M, К) всех функций, оп-ределённых на фиксированном множе-стве М и принимающих значения в поле К, с обычными операциями над функ-циями:

Элементы векторного пространства е 1 ..., е n называются линейно независимыми, если из равенства λ 1 e 1 + ... +λ n е n = 0 Є V следует, что все λ 1 , λ 2 ,..., λ n = 0 Є К. В противном слу-чае элементы е 1 , е 2 , ···> е n называются линейно зависимыми. Если в векторном пространстве V любые n + 1 элементов e 1 ,..., е n+1 ли-нейно зависимы и существует n линей-но независимых элементов, то V назы-вается n-мерным векторным пространством, а n - размерно-стью векторного пространства V. Если в векторном пространстве V для любого натурального n существует n линейно независимых векторов, то V называется бесконечномерным векторным пространством. Например, векторное пространство L 1 , L 2 , L 3 и К n соответственно 1-, 2-, 3- и n-мерны; если М - бесконечное множество, то векторное пространство F(М, К) бесконечномерно.

Векторное пространство V и U над полем К называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение φ : V -> U такое, что φ(х+у) = φ(х) + φ(у) для любых х, у из V и φ(λх) = λ φ(х) для любых λ из К и х из V. Изоморфные векторные пространства являются алгебраически неразличимыми. Классификация конечномерных векторных пространств с точностью до изоморфности даётся их размерностью: любое n-мерное векторное пространство над полем К изоморфно координатному векторному пространству К n . Смотри также Гильбертово пространство, Линейная алгебра.

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Определение 1

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение 2

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . , 1)

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A: она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e (1) , e (2) , . . . , e (n) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e (1) , e (2) , . . . , e (n) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e (2) , e (1) , . . . , e (n) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Определение 3

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Пример 1

Исходные данные: векторы

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 · 1 · (- 2) + (- 2) · 2 · 3 + 1 · 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Пример 2

Исходные данные: векторы

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Пример 3

Исходные данные: векторы

a = (1 , 2 , 3 , 3) b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Пример 4

Исходные данные: векторы

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e (1) , e (2) , . . . , e (n) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Определение 4

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство 1

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , где x 1 , x 2 , . . . , x n - некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , где x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - некие числа.

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Получим:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) · e (2)

Система базисных векторов e (1) , e (2) , . . . , e (n) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x ~ 1 , x 2 = x ~ 2 , . . . , x n = x ~ n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

а также задан вектор x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) .

Векторы e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , обозначаемые как x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Вектор x → будет представлен следующим образом:

x = x ~ 1 · e (1) + x ~ 2 · e (2) + . . . + x ~ n · e (n)

Запишем это выражение в координатной форме:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 · (e (1) 1 , e (1) 2 , . . . , e (1) n) + x ~ 2 · (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n вектора x → в базисе e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Пример 6

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e (1) , e (2) , e (3) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e (1) , e (2) , e (3) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e (1) , e (2) , e (3) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Таким образом, система векторов e (1) , e (2) , e (3) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Связь этих координат определяется уравнением:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Применим значения согласно условиям задачи:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Так, вектор x → в базисе e (1) , e (2) , e (3) имеет координаты x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Ответ: x = (1 , 1 , 1)

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

Пусть c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - координаты вектора c (1) в базисе e (1) , e (2) , . . . , e (3) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

с 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) с 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ с n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

В виде матрицы систему можно отобразить так:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) · e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c (2) :

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) · e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) · e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) · e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e (1) , e (2) , . . . , e (3) через базис c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Дадим следующие определения:

Определение 5

Матрица c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) является матрицей перехода от базиса e (1) , e (2) , . . . , e (3)

к базису c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Определение 6

Матрица e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) является матрицей перехода от базиса c (1) , c (2) , . . . , c (n)

к базису e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Из этих равенств очевидно, что

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) · e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

т.е. матрицы перехода взаимообратны.

Рассмотрим теорию на конкретном примере.

Пример 7

Исходные данные: необходимо найти матрицу перехода от базиса

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Также нужно указать связь координат произвольного вектора x → в заданных базисах.

Решение

1. Пусть T – матрица перехода, тогда верным будет равенство:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T · 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Умножим обе части равенства на

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

и получим:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Определим матрицу перехода:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Определим связь координат вектора x → :

допустим, что в базисе c (1) , c (2) , . . . , c (n) вектор x → имеет координаты x 1 , x 2 , x 3 , тогда:

x = (x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

а в базисе e (1) , e (2) , . . . , e (3) имеет координаты x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , тогда:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Т.к. равны левые части этих равенств, мы можем приравнять и правые:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Умножим обе части справа на

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

и получим:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

С другой стороны

(x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) = (x 1 , x 2 , x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Последние равенства показывают связь координат вектора x → в обоих базисах.

Ответ: матрица перехода

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Координаты вектора x → в заданных базисах связаны соотношением:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) = (x 1 , x 2 , x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Головизин В.В. Лекции по алгебре и геометрии. 4

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 2.

Лекция 22. Векторные пространства.

Краткое содержание: определение векторного пространства, его простейшие свойства, системы векторов, линейная комбинация системы векторов, тривиальная и нетривиальная линейная комбинация, линейно зависимые и независимые системы векторов, условия линейной зависимости или независимости системы векторов, подсистемы системы векторов, системы столбцов арифметического векторного пространства.

п.1. Определение векторного пространства и его простейшие свойства.

Здесь, для удобства читателя, мы повторяем содержание п.13 лекции 1.

Определение. Пусть - произвольное непустое множество, элементы которого мы будем называть векторами, K – поле, элементы которого мы будем называть скалярами. Пусть на множестве определена внутренняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем обозначать знаком + и называть сложением векторов. Пусть также на множестве определена внешняя бинарная алгебраическая операция, которую мы будем называть умножением вектора на скаляр и обозначать знаком умножения. Другими словами определены два отображения:

Множество вместе с этими двумя алгебраическими операциями называется векторным пространством над полем К, если выполняются следующие аксиомы:

1. Сложение ассоциативно, т.е.

2. Существует нулевой вектор, т.е.

3. Для любого вектора существует противоположный ему:

Вектор у, противоположный вектору х, обычно обозначается –х, так что

4. Сложение коммутативно, т.е. .

5. Умножение вектора на скаляр подчиняется закону ассоциативности, т.е.

где произведение есть произведение скаляров, определенное в поле К.

6. , где 1 - это единица поля К.

7. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов:

8. Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров: .

Определение. Векторное пространство над полем вещественных чисел называется вещественным векторным пространством.

Теорема. (Простейшие свойства векторных пространств.)

1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.

2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.

3. или
.

4. .

Доказательство. 1) Единственность нулевого вектора доказывается также, как единственность единичной матриц и, вообще, как единственность нейтрального элемента любой внутренней бинарной алгебраической операции.

Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть
– еще один нулевой вектор. Тогда . Возьмем в первом случае
, а во втором –
. Тогда
и
, откуда следует, что
, ч.т.д.

2а) Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.

Пусть
. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:

Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует

.

2б) Теперь докажем утверждение 4). Пусть
– произвольный вектор. Тогда

Отсюда сразу же следует, что вектор
является противоположным вектору х.

2в) Пусть теперь
. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства,
и
получаем:

2г) Пусть
и допустим, что
. Так как
, где К – поле, то существует
. Умножим равенство
слева на
:
, откуда следует
или
или
.

Теорема доказана.

п.2. Примеры векторных пространств.

1) Множество числовых вещественных функций одной переменной, непрерывных на интервале (0; 1) относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

2) Множество многочленов от одной буквы с коэффициентами из поля K относительно сложения многочленов и умножения многочленов на скаляр.

3) Множество комплексных чисел относительно сложения комплексных чисел и умножения на действительное число.

4) Множество матриц одного и того же размера с элементами из поля К относительно сложения матриц и умножения матриц на скаляр.

Следующий пример является важным частным случаем примера 4.

5) Пусть - произвольное натуральное число. Обозначим через множество всех столбцов высоты n, т.е. множество матриц над полем K размера
.

Множество является векторным пространством над полем К и называется арифметическим векторным пространством столбцов высоты n над полем K.

В частности, если вместо произвольного поля К взять поле действительных чисел , то векторное пространство
называется вещественным арифметическим векторным пространством столбцов высоты n.

Аналогично, векторным пространством является и множество матриц над полем K размера
или, иначе, строк длины n. Оно обозначается также через и также называется арифметическим векторным пространством строк длины n над полем K.

п.3. Системы векторов векторного пространства.

Определение. Системой векторов векторного пространства называют любое конечное непустое множество векторов этого пространства.

Обозначение:
.

Определение. Выражение

, (1)

где - скаляры поля К, – векторы векторного пространства V, называется линейной комбинацией системы векторов
. Скаляры называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Определение. Если все коэффициенты линейной комбинации (1) равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, в противном случае – нетривиальной.

Пример. Пусть
система из трех векторов векторного пространства V. Тогда

– тривиальная линейная комбинация данной системы векторов;

– нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов, т.к. первый коэффициент этой комбинации
.

Определение. Если какой-либо вектор х векторного пространства V может быть представлен в виде:

то говорят, что вектор х линейно выражается через векторы системы
. В этом случае говорят также, что система
линейно представляет вектор х.

Замечание. В этом и предыдущем определении слово "линейно" часто пропускают и говорят, что система представляет вектор или вектор выражается через векторы системы и т.п.

Пример. Пусть
– система из двух столбцов арифметического вещественного векторного пространства столбцов высоты 2. Тогда столбец
линейно выражается через столбцы системы или данная система столбцов линейно представляет столбец х. Действительно,

п.4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов векторного пространства.

Так как произведение нулевого скаляра на любой вектор есть нулевой вектор и сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, то для любой системы векторов выполняется равенство

Отсюда следует, что нулевой вектор линейно выражается через векторы любой системы векторов или, говоря иначе, любая система векторов линейно представляет нулевой вектор.

Пример. Пусть
. В этом случае нулевой столбец можно линейно выразить через столбцы системы не одним способом:

или

Чтобы различать эти способы линейного представления нулевого вектора введем следующее определение.

Определение. Если выполняется равенство

и при этом все коэффициенты , то говорят, что система
представляет нулевой вектор тривиально. Если же в равенстве (3) хотя бы один из коэффициентов
не равен нулю, тогда говорят, что система векторов
представляет нулевой вектор нетривиально.

Из последнего примера мы видим, что существуют системы векторов, которые могут представлять нулевой вектор нетривиально. Из следующего примера мы увидим, что существуют системы векторов, которые не могут представлять нулевой вектор нетривиально.

Пример. Пусть
– система двух столбцов из векторного пространства . Рассмотрим равенство:

,

где
неизвестные пока коэффициенты. Используя правила умножения столбца на скаляр (число) и сложения столбцов, получаем равенство:

.

Из определения равенства матриц следует, что
и
.

Таким образом, данная система не может представлять нулевой столбец нетривиально.

Из приведенных примеров следует, что существует два вида систем векторов. Одни системы представляют нулевой вектор нетривиально, а другие нет. Отметим еще раз, что любая система векторов представляет нулевой вектор тривиально.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая представляет нулевой вектор ТОЛЬКО тривиально называется линейно независимой.

Определение. Система векторов векторного пространства, которая может представить нулевой вектор нетривиально называется линейно зависимой.

Последнее определение можно дать в более развернутом виде.

Определение. Система векторов
векторного пространства V называется линейно зависимой, если найдется такой ненулевой набор скаляров поля K

Замечание. Любая система векторов
может представлять нулевой вектор тривиально:

Но этого недостаточно, чтобы выяснить линейно зависимая или же линейно независимая данная система векторов. Из определения следует, что линейно независимая система векторов не может представлять нулевой вектор нетривиально, а только тривиально. Поэтому для того, чтобы убедиться в линейной независимости данной системы векторов, нужно рассмотреть представление нуля произвольной линейной комбинацией этой системы векторов:

Если это равенство невозможно при условии, чтобы хотя бы один коэффициент этой линейной комбинации был ненулевой, тогда эта система является по определению линейно независимой.

Так в примерах предыдущего параграфа система столбцов
является линейно независимой, а система столбцов
является линейно зависимой.

Аналогично доказывается линейная независимость системы столбцов , , ... ,

из пространства , где К - произвольное поле, n – произвольное натуральное число.

Следующие теоремы дают несколько критериев линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система
линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть
,
.

Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

Обозначим:
, где .

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы:

Перенесем вектор в правую часть этого равенства:

Так как коэффициент при векторе равен
, то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов
, что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть система линейно независимая. Допустим противное и существует вектор системы линейно выражающийся через другие вектора этой системы. Тогда по теореме система является линейно зависимой и мы приходим к противоречию.

Достаточность. Пусть ни один из векторов системы не выражается через другие. Допустим противное. Пусть система линейно зависимая, но тогда из теоремы следует, что существует вектор системы линейно выражающийся через другие векторы этой системы и мы опять приходим к противоречию.

2а) Пусть система содержит нулевой вектор. Допустим для определенности, что вектор
:. Тогда очевидно равенство

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы. Из теоремы следует, что такая система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Заметим, что этот факт можно доказать непосредственно из определения линейно зависимой системы векторов.

Так как
, то следующее равенство очевидно

Это нетривиальное представление нулевого вектора, а значит система
является линейно зависимой.

2б) Пусть система имеет два равных вектора. Пусть для определенности
. Тогда очевидно равенство

Т.е. первый вектор линейно выражается через остальные векторы этой же системы. Из теоремы следует, что данная система линейно зависимая, ч.т.д.

Аналогично предыдущему это утверждение можно доказать и непосредственно определения линейно зависимой системы.

Действительно, так как
, то верно равенство

т.е. мы имеем нетривиальное представление нулевого вектора.

Следствие доказано.

Теорема (О линейной зависимости системы из одного вектора.

Система, состоящая из одного вектора является линейно зависимой тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Доказательство.

Необходимость. Пусть система
линейно зависимая, т.е. существует нетривиальное представление нулевого вектора

,

где
и
. Из простейших свойств векторного пространства следует, что тогда
.

Достаточность. Пусть система состоит из одного нулевого вектора
. Тогда эта система представляет нулевой вектор нетривиально

,

откуда следует линейная зависимость системы
.

Теорема доказана.

Следствие. Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

Доказательство оставляется читателю как упражнение.